Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} + x^{2} + 2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{12} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.4

Combina $\frac{4}{12}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 1.1.1.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3.5

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.1.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.1.6.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2 + 0$

Paso 1.1.1.6.2

Suma $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.6

Combina $\frac{- 6}{2}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.7

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.3.7.2.4

Divide $- 3 x$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 1.1.2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.2.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 + 0$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $x^{2} - 3 x + 2$ y $0$ .

$f'' (x) = x^{2} - 3 x + 2$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 3 x + 2$ .

$x^{2} - 3 x + 2$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 1.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f'' (0) = 2$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, 1)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, 2)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.5$ en la expresión.

$f'' (1.5) = {(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $1.5$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 3 \cdot 1.5 + 2$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1.5$ .

$f'' (1.5) = 2.25 - 4.5 + 2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $4.5$ de $2.25$ .

$f'' (1.5) = - 2.25 + 2$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 2.25$ y $2$ .

$f'' (1.5) = - 0.25$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.25$ .

$- 0.25$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, 2)$ porque $f'' (1.5)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = 16 - 3 \cdot 4 + 2$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f'' (4) = 16 - 12 + 2$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $12$ de $16$ .

$f'' (4) = 4 + 2$

Paso 6.2.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$f'' (4) = 6$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ es positiva.

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(1, 2)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(2, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8