Cálculo Ejemplos

$π \int_{0}^{2} {(4 - x^{2})}^{2} d x$

Paso 1

Expande ${(4 - x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(4 - x^{2})}^{2}$ como $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) (4 - x^{2}) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}) d x$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Paso 1.5

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Paso 1.6

Mueve $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 4 \cdot 4 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.7

Multiplica $4$ por $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + 4 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.8

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.11

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Paso 1.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Paso 1.13

Suma $2$ y $2$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4} d x$

Paso 1.14

Resta $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 - 8 x^{2} + x^{4} d x$

Paso 1.15

Reordena $- 8 x^{2}$ y $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{2} 16 + x^{4} - 8 x^{2} d x$

Paso 1.16

Mueve $16$ .

$π \int_{0}^{2} x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$π (\int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 5

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 16 d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 16 x]_{0}^{2})$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$ y $16 x]_{0}^{2}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{0}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ en $2$ y en $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $0$ .

$π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $16$ por $2$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3

Para escribir $32$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4

Combina $32$ y $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.6.1

Multiplica $32$ por $5$ .

$π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.6.2

Suma $32$ y $160$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 9.2.3.8.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.8.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{192}{5} - (\frac{0}{1} + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 16 \cdot 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.9

Multiplica $16$ por $0$ .

$π (\frac{192}{5} - (0 + 0) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.10

Suma $0$ y $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{192}{5} + 0 - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.12

Suma $\frac{192}{5}$ y $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 9.2.3.15

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.15.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 9.2.3.15.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.15.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.15.2.2

Cancela el factor común.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.15.2.3

Reescribe la expresión.

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.3.15.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} - 0))$

Paso 9.2.3.16

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 0))$

Paso 9.2.3.17

Suma $\frac{8}{3}$ y $0$ .

$π (\frac{192}{5} - 8 (\frac{8}{3}))$

Paso 9.2.3.18

Combina $- 8$ y $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 8 \cdot 8}{3})$

Paso 9.2.3.19

Multiplica $- 8$ por $8$ .

$π (\frac{192}{5} + \frac{- 64}{3})$

Paso 9.2.3.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$π (\frac{192}{5} - \frac{64}{3})$

Paso 9.2.3.21

Para escribir $\frac{192}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3})$

Paso 9.2.3.22

Para escribir $- \frac{64}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 9.2.3.23

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.2.3.23.1

Multiplica $\frac{192}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 9.2.3.23.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Paso 9.2.3.23.3

Multiplica $\frac{64}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Paso 9.2.3.23.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$π (\frac{192 \cdot 3}{15} - \frac{64 \cdot 5}{15})$

Paso 9.2.3.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$π \frac{192 \cdot 3 - 64 \cdot 5}{15}$

Paso 9.2.3.25

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.25.1

Multiplica $192$ por $3$ .

$π \frac{576 - 64 \cdot 5}{15}$

Paso 9.2.3.25.2

Multiplica $- 64$ por $5$ .

$π \frac{576 - 320}{15}$

Paso 9.2.3.25.3

Resta $320$ de $576$ .

$π \frac{256}{15}$

Paso 9.2.3.26

Combina $π$ y $\frac{256}{15}$ .

$\frac{π \cdot 256}{15}$

Paso 9.2.3.27

Mueve $256$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{256 π}{15}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{256 π}{15}$

Forma decimal:

$53.61651462 \dots$

Paso 11