Cálculo Ejemplos

${(1 + \sin (x))}^{2}$

Paso 1

Escribe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como una función.

$f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Paso 4

Expande ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Paso 4.1

Reescribe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 4.5

Reordena $\sin (x)$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 4.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 4.7

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 4.8

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Paso 4.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Paso 4.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Paso 4.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Paso 4.12

Suma $1$ y $1$ .

$\int 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Paso 4.13

Suma $\sin (x)$ y $\sin (x)$ .

$\int 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d x + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$x + C + \int 2 \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x + C + 2 \int \sin (x) d x + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 8

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 9

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 11

Divide la única integral en varias integrales.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Paso 14

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 14.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 14.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 14.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 14.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 15

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 16

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 17

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$x + C + 2 (- \cos (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 18

Simplifica.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 19

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 20.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 20.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 20.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Paso 20.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 20.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x - 2 \cos (x) + \frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 22

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - 2 \cos (x) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$