Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^{2}}{\sqrt{12 - x^{2}}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Paso 2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \sqrt{3}} \sqrt{12 - x^{2}}}$

Paso 3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - x^{2}}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to \sqrt{3}} 12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\sqrt{3}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - lim_{x \to \sqrt{3}} x^{2}}}$

Paso 6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\sqrt{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{3}$ para $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {(lim_{x \to \sqrt{3}} x)}^{2}}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{3}$ para $x$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{1}}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{\sqrt{12 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 8.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 8.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 8.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3^{1}}}$

Paso 8.2.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{\sqrt{12 - 1 \cdot 3}}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3}{\sqrt{12 - 3}}$

Paso 8.2.3

Resta $3$ de $12$ .

$\frac{3}{\sqrt{9}}$

Paso 8.2.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 8.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3}{3}$

Paso 8.3

Divide $3$ por $3$ .

$1$