Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{- 3 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{- 3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (5 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.6.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (5 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (5 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (5 x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Suma $1 - 5 \sin (5 x)$ y $0$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} \frac{1 - 5 \sin (5 x)}{1}$

Paso 2.4

Divide $1 - 5 \sin (5 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3} lim_{x \to 0} 1 - 5 \sin (5 x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{- 3} (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x))$

Paso 3.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Paso 3.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (5 \cdot 0))$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \sin (0))$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 - 5 \cdot 0)$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$- \frac{1}{3} (1 + 0)$

Paso 5.3

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{3}$