Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $4$ y $6$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $10$ de $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 2} x}$

Paso 1.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 \cdot 2 - 1 \cdot 4} - 2}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.7.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 1 \cdot 4} - 2}$

Paso 1.1.3.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{8 - 4} - 2}$

Paso 1.1.3.7.1.3

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 2}$

Paso 1.1.3.7.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 2}$

Paso 1.1.3.7.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.7.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x - 10}{\sqrt{4 x - 4} - x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 3 x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.5

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.6

Suma $2 x + 3$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4} - x]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{4 x - 4} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x - 4}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x - 4}$ como ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 x - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 4] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.6

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.8.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.12

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.13

Suma $4$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{1}{2} {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.15

Combina $\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{{(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.16

Mueve $4$ a la izquierda de ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4 \cdot {(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.17

Mueve ${(4 x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{4}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.18

Factoriza $2$ de $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.19

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.8.19.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.19.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.8.19.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.9.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{{(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Paso 1.4

Reescribe ${(4 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 x - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1}$

Paso 1.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Paso 1.5.2

Combina $- 1$ y $\frac{\sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2}{\sqrt{4 x - 4}} + \frac{- \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Paso 1.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 3}{\frac{2 - \sqrt{4 x - 4}}{\sqrt{4 x - 4}}}$

Paso 2

Como la función se acerca a $\infty$ desde la izquierda y a $- \infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$