Cálculo Ejemplos

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 32 y = - 305$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 90 x$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 90$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 90$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 45}{9}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $- 45$ y $9$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 45$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 90$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $8100$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 225$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $225$ .

$e = 0 - 225$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $225$ de $0$ .

$e = - 225$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 225$

Paso 1.2

Sustituye $9 {(x - 5)}^{2} - 225$ por $9 x^{2} - 90 x$ en la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 32 y = - 305$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 225 - 4 y^{2} - 32 y = - 305$

Paso 1.3

Mueve $- 225$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $225$ a ambos lados.

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 y^{2} - 32 y = - 305 + 225$

Paso 1.4

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} - 32 y$ .

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Paso 1.4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Paso 1.4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 32$ y $2$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.4.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (- 4)}$

Paso 1.4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 16}{- 4}$

Paso 1.4.3.2.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $- 4$ .

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Paso 1.4.3.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 16$ .

$d = \frac{- 4 (4)}{- 4}$

Paso 1.4.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.3.2.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 1.4.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.4.2.1.1

Eleva $- 32$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Paso 1.4.4.2.1.3

Divide $1024$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Paso 1.4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Paso 1.4.4.2.2

Suma $0$ y $64$ .

$e = 64$

Paso 1.4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$

Paso 1.5

Sustituye $- 4 {(y + 4)}^{2} + 64$ por $- 4 y^{2} - 32 y$ en la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 90 x - 32 y = - 305$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} + 64 = - 305 + 225$

Paso 1.6

Mueve $64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 305 + 225 - 64$

Paso 1.7

Simplifica $- 305 + 225 - 64$ .

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Paso 1.7.1

Suma $- 305$ y $225$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 80 - 64$

Paso 1.7.2

Resta $64$ de $- 80$ .

$9 {(x - 5)}^{2} - 4 {(y + 4)}^{2} = - 144$

Paso 1.8

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 9 {(x - 5)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 144$

Paso 1.9

Divide cada término por $144$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{9 {(x - 5)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 6$

$b = 4$

$k = - 4$

$h = 5$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(5, - 4)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{36 + 16}$

Paso 5.3.3

Suma $36$ y $16$ .

$\sqrt{52}$

Paso 5.3.4

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$\sqrt{4 (13)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{13}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 10)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(5, 2), (5, - 10)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 4 + 2 \sqrt{13})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, - 4 - 2 \sqrt{13})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(5, - 4 + 2 \sqrt{13}), (5, - 4 - 2 \sqrt{13})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}}{6}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 4^{2}}}{6}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 16}}{6}$

Paso 8.3.1.3

Suma $36$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{52}}{6}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$\frac{\sqrt{4 (13)}}{6}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 13}}{6}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{13}}{6}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 (\sqrt{13})}{6}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{13}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{13}}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{13})}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Paso 9.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.4.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{13}}$ por $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Paso 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{13}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Paso 9.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Paso 9.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{13}}^{2}$ como $13$ .

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Paso 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{13}$ como $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Paso 9.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 4$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 4$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 4$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 5) - 4$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 5 - 4$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 5 - 4$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Paso 11.2.1.4.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 5}{2} - 4$

Paso 11.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15}{2} - 4$

Paso 11.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} - 4$

Paso 11.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 11.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{15}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 15 - 8}{2}$

Paso 11.2.5.2

Resta $8$ de $- 15$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 23}{2}$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{23}{2}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 4$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - (5)) - 4$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5) - 4$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5 - 4$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5 - 4$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Paso 12.2.1.4.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2}) - 4$

Paso 12.2.1.4.2

Combina $5$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2} - 4$

Paso 12.2.1.4.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2} - 4$

Paso 12.2.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} - 4$

Paso 12.2.2

Para escribir $- 4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 12.2.3

Combina $- 4$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 - 8}{2}$

Paso 12.2.5.2

Resta $8$ de $15$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{23}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(5, - 4)$

Vértices: $(5, 2), (5, - 10)$

Focos: $(5, - 4 + 2 \sqrt{13}), (5, - 4 - 2 \sqrt{13})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Parámetro focal: $\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Asíntotas: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{23}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 15