Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (a x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = a x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $a$ por $1$ .

$\cos (a x) a$

Paso 1.2.3.2

Reordena los factores de $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a \cos (a x)$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = a x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 2.3

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.4

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Paso 2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Paso 2.9.2

Reordena los factores de $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- a^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a^{2} \sin (a x)$ con respecto a $x$ es $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = a x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 3.3

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.6

Suma $1$ y $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Paso 3.8

Multiplica $\cos (a x)$ por $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- a^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- a^{3} \cos (a x)$ con respecto a $x$ es $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = a x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 4.3.2

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Paso 4.3.3

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4

Multiplica $a^{3}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4.2

Multiplica $a$ por $a^{3}$ .

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Paso 4.4.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.4.3

Suma $1$ y $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Paso 4.6

Multiplica $\sin (a x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$