Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{3}}{2 x^{3} - 1}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2 x^{3} - 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \frac{(2 x^{3} - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x^{3} - 1$ .

$3 \frac{3 \cdot (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2} + 0)}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.8.1

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - x^{3} (6 x^{2})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3.8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{3} x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 (x^{2} x^{3})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{2 + 3}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $3$ .

$3 \frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Combina $3$ y $\frac{3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{3} - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((3 (2 x^{3}) + 3 \cdot - 1) x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 (2 x^{3}) x^{2}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.4.1.1

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 (3 (2 (x^{2} x^{3}))) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (3 (2 x^{2 + 3})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{3 (3 (2 x^{5})) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 (6 x^{5}) + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (3 \cdot - 1 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{18 x^{5} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.5

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} + 3 (- 6 x^{5})}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.1.6

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.2

Combina los términos opuestos en $18 x^{5} - 9 x^{2} - 18 x^{5}$ .

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Paso 3.6.4.2.1

Resta $18 x^{5}$ de $18 x^{5}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 0}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.4.2.2

Suma $- 9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x^{2}}{{(2 x^{3} - 1)}^{2}}$