Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{x^{2} + 2 x}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2 x} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + 2 x}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Paso 4.1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{1}{x (x + 2)}$

Paso 4.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 4.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 2)$ .

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x + 2))}{x (x + 2)} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x + 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6.1.2

Divide $A (x + 2)$ por $1$ .

$1 = A (x + 2) + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + 2 A + \frac{B (x (x + 2))}{x + 2}$

Paso 4.1.6.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x)$

$1 = A x + 2 A + B x$

Paso 4.1.7

Mueve $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

$0 = A + B$

$1 = 2 A$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 2 A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Reescribe la ecuación como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 4.3.1.2

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Divide cada término en $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Paso 4.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Paso 4.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = A + B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{1}{2} + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} + B = 0$ .

$\frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.3.2

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Paso 4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Paso 4.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

Paso 4.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.5.4

Multiplica $\frac{1}{x + 2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 x} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 2}$

Paso 4.5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$\int \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 2)} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Paso 10

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 10.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 2 |) + C$