Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Paso 1.3

Resta $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Paso 1.5

Resta $1$ de $3$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2} \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{\frac{4}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{0}^{2} {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{2} u^{\frac{- 4}{3}} d u$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{2} u^{- \frac{4}{3}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{4}{3}}$ con respecto a $u$ es $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- 3 u^{- \frac{1}{3}}]_{0}^{2}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.1

Evalúa $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ en $2$ y en $0$ .

$(- 3 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}) + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot 0^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2.5

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.7.1

Cancela el factor común.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.2.7.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0^{1}}$

Paso 4.2.8

Evalúa el exponente.

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Paso 4.2.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Paso 4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{3}{2^{\frac{1}{3}}} + 3 \cdot \frac{1}{0}$

Paso 5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida