Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Paso 2

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

Paso 3

Sea $u = x + 4$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 3.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Paso 3.3

Suma $0$ y $4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x + 4$ .

$u_{upper} = t + 4$

Paso 3.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

Paso 3.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 4}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $u^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

Paso 6.2

Mueve $u^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $- \frac{1}{3 u^{3}}$ en $t + 4$ y en $4$ .

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite.

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Paso 8.1.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

Paso 8.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Paso 8.1.3

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Paso 8.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ se acerca a $0$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

Paso 8.3

Evalúa el límite.

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Paso 8.3.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{192}$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

Paso 8.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$5 (0 + \frac{1}{192})$

Paso 8.3.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{192}$ .

$5 (\frac{1}{192})$

Paso 8.3.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{192}$ .

$\frac{5}{192}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{192}$

Forma decimal:

$0.026041\overline{6}$