Cálculo Ejemplos

$0 = - 2 y^{2} + x^{2} + x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2} + x)$

Paso 2

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 y^{2} + x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = - 4 y y' + 2 x + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$ .

$- 4 y y' + 2 x + 1 = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y y' + 1 = - 2 x$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y y' = - 2 x - 1$

Paso 5.3

Divide cada término en $- 4 y y' = - 2 x - 1$ por $- 4 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- 4 y y' = - 2 x - 1$ por $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $- 4$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 4 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{- 2 (x)}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 (2 y)} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{- 1}{- 4 y}$

Paso 5.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{1}{4 y}$