Cálculo Ejemplos

$x y^{2} + x = 3 y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (3 y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 1$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' + 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' + 1 = 3 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $3 y'$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 2 x y y' + 1 - 3 y' = 0$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' + 1 - 3 y' = - y^{2}$

Paso 5.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' - 3 y' = - y^{2} - 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $2 x y y' - 3 y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $2 x y y'$ .

$y' (2 x y) - 3 y' = - y^{2} - 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (2 x y) + y' \cdot - 3 = - y^{2} - 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 x y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$ por $2 x y - 3$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (2 x y - 3) = - y^{2} - 1$ por $2 x y - 3$ .

$\frac{y' (2 x y - 3)}{2 x y - 3} = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2 x y - 3$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x y - 3)}{2 x y - 3} = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y - 3} + \frac{- 1}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 1)}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.3.5.1

Reescribe $- (y^{2} + 1)$ como $- 1 (y^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{2 x y - 3}$

Paso 5.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} + 1}{2 x y - 3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{2 x y - 3}$