Cálculo Ejemplos

$y = \cos (5 x^{2} - x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (5 x^{2} - x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 5 x^{2} - x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} - x$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1 \cdot 1)$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$