Cálculo Ejemplos

$f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ , $θ = 0$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 0$ en la función de linealización.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Paso 3

Evalúa $f (0)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $θ$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{3})$

Paso 3.2

Simplifica $\sin ((0) + \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sin ((0) + \frac{π}{3})$

Paso 3.2.2

Suma $0$ y $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3})$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $0$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (θ) = \sin (θ + \frac{π}{3})$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = θ + \frac{π}{3}$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $θ + \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $θ + \frac{π}{3}$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \frac{d}{d θ} [θ + \frac{π}{3}]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $θ + \frac{π}{3}$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}]$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + \frac{d}{d θ} [\frac{π}{3}])$

Paso 4.1.2.3

Como $\frac{π}{3}$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $\frac{π}{3}$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) (1 + 0)$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3}) \cdot 1$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $\cos (θ + \frac{π}{3})$ por $1$ .

$\cos (θ + \frac{π}{3})$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $θ$ con $0$ en la expresión.

$\cos ((0) + \frac{π}{3})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Suma $0$ y $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Paso 4.3.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - 0)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Resta $0$ de $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2}$

Paso 7