Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 3} 3 \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 3} \sin (2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{3 \sin (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.1.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{3 \sin (2 lim_{x \to - 3} x + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{3 \sin (2 \cdot - 3 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{3 \sin (- 6 + 6)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.3.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$\frac{3 \sin (0)}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 + lim_{x \to - 3} x}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$\frac{0}{3 + lim_{x \to - 3} x}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Paso 1.3.3

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \sin (2 x + 6)}{3 + x} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (2 x + 6)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 6)]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x + 6$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 (\cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.4

Elimina los paréntesis.

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.9

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.10

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{3 \cos (2 x + 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.11

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3 + x]}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.13

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{0 + 1}$

Paso 3.15

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{6 \cos (2 x + 6)}{1}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide $6 \cos (2 x + 6)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 3} 6 \cos (2 x + 6)$

Paso 4.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 lim_{x \to - 3} \cos (2 x + 6)$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + 6)$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 3$ .

$6 \cos (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6)$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6)$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 3$ .

$6 \cos (2 lim_{x \to - 3} x + 6)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 3$ para $x$ .

$6 \cos (2 \cdot - 3 + 6)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$6 \cos (- 6 + 6)$

Paso 6.2

Suma $- 6$ y $6$ .

$6 \cos (0)$

Paso 6.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$6 \cdot 1$

Paso 6.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$