Cálculo Ejemplos

$5 y^{3} - x^{3} = x^{2} y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 y^{3} - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$15 y^{2} y' - (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$15 y^{2} y' - 3 x^{2}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Paso 3.4

Reordena.

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Paso 3.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Paso 3.4.2

Reordena los términos.

$x^{2} y' + 2 x y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y' = x^{2} y' + 2 x y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $x^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} + 15 y^{2} y' - x^{2} y' = 2 x y$

Paso 5.2

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$15 y^{2} y' - x^{2} y' = 2 x y + 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $15 y^{2} y' - x^{2} y'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de $15 y^{2} y'$ .

$y' (15 y^{2}) - x^{2} y' = 2 x y + 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (15 y^{2}) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (15 y^{2}) + y' (- x^{2})$ .

$y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$ por $15 y^{2} - x^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (15 y^{2} - x^{2}) = 2 x y + 3 x^{2}$ por $15 y^{2} - x^{2}$ .

$\frac{y' (15 y^{2} - x^{2})}{15 y^{2} - x^{2}} = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $15 y^{2} - x^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (15 y^{2} - x^{2})}{15 y^{2} - x^{2}} = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{15 y^{2} - x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y + 3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Factoriza $x$ de $2 x y + 3 x^{2}$ .

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Paso 5.4.3.2.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + 3 x^{2}}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.3.2.2

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 5.4.3.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 y) + x (3 x)$ .

$y' = \frac{x (2 y + 3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + 3 x)}{15 y^{2} - x^{2}}$