Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $y^{3} - 2 y^{2} - y$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.2

Factoriza $y$ de $- 2 y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.3

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

Paso 1.1.5

Factoriza $y$ de $y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

Paso 1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

Paso 2

Divide $y^{2} - 2 y - 1$ por $y$ .

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Paso 2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Paso 2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

Paso 2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Paso 2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Paso 2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Paso 2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Paso 2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

Paso 2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Paso 2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 y + 0$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Paso 2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

Paso 2.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ y $- 2 y]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Paso 8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ en $3$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

Paso 8.2.2

Evalúa $\ln (| y |)$ en $3$ y en $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3

Simplifica.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.4

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.5

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.7.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.7.2

Resta $12$ de $9$ .

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.10

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.12

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.13

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.15

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.15.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.15.2

Resta $4$ de $1$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.17

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.18

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.19

Suma $- \frac{3}{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.2.3.20

Resta $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 8.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Paso 8.4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Paso 8.4.3

Divide $3$ por $1$ .

$- \ln (3)$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \ln (3)$

Forma decimal:

$- 1.09861228 \dots$

Paso 10