Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\ln (x)}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $x$ .

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{{\ln (x)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) - 1] - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) \frac{1}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.4.2.2

Combina $\ln^{2} (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$

Paso 2.6

Simplifica los términos.

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Paso 2.6.1

Combinar.

$\frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.6.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{\ln^{2} (x)}{x} + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.9

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{1}{x}))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10

Simplifica los términos.

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Paso 2.10.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{\ln (x)}{x}$ y $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.3.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{2 \ln (x)}{x} (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.4

Combina $x$ y $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.10.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.5.2

Divide $2 \ln (x)$ por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - (2 \ln (x)) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.10.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11.2.2

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

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Paso 2.11.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11.2.3.2

Multiplica $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Paso 2.11.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$