Cálculo Ejemplos

$y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 (2 x)$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 10 x$

Paso 2.6

Reordena los términos.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y'$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + y' = - 10 x$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y' - 4 y y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y y' + y' = - 10 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Paso 5.2.3

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Paso 5.2.6

Factoriza $y'$ de $y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Paso 5.3.1.1.2

Reescribe $- 4$ como $- 1$ más $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 10 x$

Paso 5.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 10 x$

Paso 5.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 10 x$

Paso 5.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 10 x$

Paso 5.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 10 x$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ por $(3 y - 1) (y - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ por $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$