Cálculo Ejemplos

$- y^{2} - x y - 2 x = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{2} - x y - 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{2} - x y - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 y y' - (x y' + y) - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 y y' - (x y' + y) - 2 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 y y' - (x y' + y) - 2$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 y y' - (x y') - y - 2$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 y y' - x y' - y - 2$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' - x y' - y - 2 = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' - x y' - 2 = y$

Paso 5.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' - x y' = y + 2$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' - x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - x y' = y + 2$

Paso 5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- 2 y) + y' (- x) = y + 2$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y) + y' (- x)$ .

$y' (- 2 y - x) = y + 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 2 y - x) = y + 2$ por $- 2 y - x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 2 y - x) = y + 2$ por $- 2 y - x$ .

$\frac{y' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{y}{- 2 y - x} + \frac{2}{- 2 y - x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2 y - x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 y - x)}{- 2 y - x} = \frac{y}{- 2 y - x} + \frac{2}{- 2 y - x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- 2 y - x} + \frac{2}{- 2 y - x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y + 2}{- 2 y - x}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{y + 2}{- (2 y) - x}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y + 2}{- (2 y) - (x)}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - (x)$ .

$y' = \frac{y + 2}{- (2 y + x)}$

Paso 5.3.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (2 y + x)$ como $- 1 (2 y + x)$ .

$y' = \frac{y + 2}{- 1 (2 y + x)}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y + 2}{2 y + x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + 2}{2 y + x}$