Cálculo Ejemplos

$x \cdot e^{- x^{2}}$

Paso 1

Escribe $x \cdot e^{- x^{2}}$ como una función.

$f (x) = x \cdot e^{- x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \cdot e^{- x^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia.

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reordena los factores de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Paso 4.1.4.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{2} u_{2} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \cdot e^{- x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$