Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - x \cos (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} - x \cos (x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Paso 3.2.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 x - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Paso 3.3.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 x + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x + x \sin (x) - \cos (x)$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \sin (x) + 2 x - \cos (x)$