Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (\log_{7} (1 - x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{7} (x)$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{7} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{(1 - x) \ln (7)} \cdot - 1$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{(1 - x) \ln (7)}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{(1 - x) \ln (7)}$

Paso 2.6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{(1 - x) \ln (7)}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{1 \ln (7) - x \ln (7)}$

Paso 3.2

Multiplica $\ln (7)$ por $1$ .

$- \frac{1}{\ln (7) - x \ln (7)}$