Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $π$ es constante con respecto a $x$ , mueve $π$ fuera de la integral.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Entonces $d u = - \frac{4}{5} d x$ , de modo que $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $20 - 4 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Paso 2.1.3

Como $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 (5 - x)}{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Paso 2.1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.1.6

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Paso 2.1.9

Combina fracciones.

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Paso 2.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Paso 2.1.9.2

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Paso 2.1.9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.9.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Paso 2.1.9.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{5}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $20 - 4 \cdot 0$ y $5$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Paso 2.3.1.4

Reordena los términos.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Paso 2.3.1.5

Factoriza $5$ de $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Paso 2.3.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.6.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Paso 2.3.1.6.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.6.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Paso 2.3.1.6.4

Divide $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Paso 2.3.2

Reescribe $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ como $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Paso 2.3.3

Multiplica $0$ por $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Paso 2.3.4

Suma $- 4$ y $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común de $20 - 4 \cdot 5$ y $5$ .

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Paso 2.5.1.1

Reescribe $20$ como $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Paso 2.5.1.4

Reordena los términos.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Paso 2.5.1.5

Factoriza $5$ de $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Paso 2.5.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1.6.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Paso 2.5.1.6.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.6.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Paso 2.5.1.6.4

Divide $- 1 (4 - 4)$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Paso 2.5.2

Reescribe $- 1 (4 - 4)$ como $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Paso 2.5.3

Resta $4$ de $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Paso 3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Paso 3.4

Combina $\frac{5}{4}$ y $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Paso 5

Dado que $\frac{5}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{4}$ fuera de la integral.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $π$ y $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Paso 6.2

Mueve $5$ a la izquierda de $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $0$ y en $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Paso 8.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Paso 8.2.4

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Paso 8.2.5

Combina $- 64$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Paso 8.2.7

Resta $\frac{64}{3}$ de $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Paso 8.2.9

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Paso 8.2.10

Multiplica $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Paso 8.2.11

Multiplica $64$ por $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Paso 8.2.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Paso 8.2.13

Cancela el factor común de $320$ y $12$ .

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Paso 8.2.13.1

Factoriza $4$ de $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Paso 8.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.13.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Paso 8.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Paso 8.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{80 π}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{80 π}{3}$

Forma decimal:

$83.77580409 \dots$

Paso 10