Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

Paso 1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.7.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

Paso 1.3.7.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

Paso 1.3.7.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Paso 1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.3.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.7.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{x} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.5

Suma $3 e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (1 - x) - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 3.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.7

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.8

Combina $\frac{1}{1 - x}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

Paso 3.8.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Combina los términos.

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Paso 3.9.1.1

Para escribir $- 3 x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

Paso 3.9.1.2

Combina $- 3 x^{2}$ y $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Paso 3.9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Paso 3.9.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ y $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

Paso 5.2

Combina $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ y $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 11

Mueve el límite dentro del exponente.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 13

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 14

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 15

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 16

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 17

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 18

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Paso 19

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 19.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Paso 19.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Paso 19.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Paso 19.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20

Simplifica la respuesta.

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Paso 20.1

Simplifica el numerador.

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Paso 20.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20.1.2

Multiplica $e^{0}$ por $1$ .

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20.2

Simplifica el denominador.

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Paso 20.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Paso 20.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 20.2.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 20.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1}$

Paso 20.2.6

Resta $1$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Paso 20.3

Divide $1$ por $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Paso 20.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3$