Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Paso 1.3.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Paso 1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Paso 1.3.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Paso 1.3.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Paso 1.3.6

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Paso 1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Paso 1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.8.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.3.8.1.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.3.8.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Paso 1.3.8.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.8.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ .

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 - 2 x$ .

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Paso 3.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.7

Resta $2$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.8

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

Paso 3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

Paso 11

Mueve el límite dentro del exponente.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

Paso 12

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Paso 13

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Paso 14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Paso 15

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 1$ para $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Paso 16

Simplifica la respuesta.

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Paso 16.1

Simplifica el denominador.

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Paso 16.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Paso 16.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Paso 16.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

Paso 16.1.4

Suma $- 2$ y $2$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

Paso 16.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

Paso 16.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2}$

Paso 16.1.7

Resta $2$ de $3$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 16.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 16.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 16.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 16.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$