Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 8 x + x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

Paso 1

Suma $- 8 x$ y $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{4} - 7 x + 2}{4 x^{4} - 5 x^{2} - 2}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7 x}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{x \cdot - 7}{x \cdot x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{- 7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{4}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot - 5}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 + \frac{- 5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{4}}}$

Paso 3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{7}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 3.6

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{5}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 7.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 9

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 - 7 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $- 7$ por $0$ .

$\frac{2 + 0 + 2 \cdot 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2 + 0 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.1.3

Suma $2 + 0$ y $0$ .

$\frac{2 + 0}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.1.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2}{4 - 5 \cdot 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{2}{4 + 0 - 2 \cdot 0}$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{2}{4 + 0 + 0}$

Paso 11.2.3

Suma $4 + 0$ y $0$ .

$\frac{2}{4 + 0}$

Paso 11.2.4

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$