Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{4 (x + b)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el exponente $7$ de ${(x + b)}^{7}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.4

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el exponente $10$ de ${(x + b)}^{10}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.7

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- b$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- b$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- b$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.9.1

Combina los términos opuestos en ${(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}$ .

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Paso 2.1.2.9.1.1

Suma $- b$ y $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.9.1.2

Suma $- b$ y $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.9.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.9.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.9.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.2.9.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- b$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- b + b}$

Paso 2.1.3.3

Suma $- b$ y $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b} = lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x + b$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.4

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

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Paso 2.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{10}$ y $g (x) = x + b$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.4

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.4.6

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.5

Factoriza ${(x + b)}^{6}$ de $7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}$ .

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Paso 2.3.5.1

Factoriza ${(x + b)}^{6}$ de $7 {(x + b)}^{6}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.5.2

Factoriza ${(x + b)}^{6}$ de $10 {(x + b)}^{9}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} \cdot 10 {(x + b)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.5.3

Factoriza ${(x + b)}^{6}$ de ${(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} (10 {(x + b)}^{3})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + b$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + \frac{d}{d x} [b]}$

Paso 2.3.8

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + 0}$

Paso 2.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1}$

Paso 2.4

Divide ${(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $6$ de ${(x + b)}^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (lim_{x \to - b} 7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Paso 3.7

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 lim_{x \to - b} {(x + b)}^{3})$

Paso 3.8

Mueve el exponente $3$ de ${(x + b)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Paso 3.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{3})$

Paso 3.10

Evalúa el límite de $b$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- b$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- b$ para $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- b$ para $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Suma $- b$ y $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Paso 5.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Paso 5.4

Suma $- b$ y $b$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0^{3})$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0)$

Paso 5.5.2

Multiplica $10$ por $0$ .

$0 \cdot (7 + 0)$

Paso 5.6

Suma $7$ y $0$ .

$0 \cdot 7$

Paso 5.7

Multiplica $0$ por $7$ .

$0$