Cálculo Ejemplos

$\frac{\log_{5} (x)}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{5} (x)] - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 3

La derivada de $\log_{5} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $x \ln (5)$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ por $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{\ln (5)}{\ln (5)} \cdot \frac{\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{\ln (5) (\frac{x}{\ln (5)} - \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (5) \frac{x}{\ln (5)} + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x) (2 x))}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + \ln (5) (- 2 \log_{5} (x) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Simplifica $- 2 \log_{5} (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 9.1.2

Reordena los factores en $x + \ln (5) (- \log_{5} (x^{2}) x)$ .

$\frac{x - x \ln (5) \log_{5} (x^{2})}{\ln (5) x^{4}}$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + x$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $x$ de $- x \ln (5) \log_{5} (x^{2})$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x^{1}}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.3.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.3.4

Factoriza $x$ de $x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- \ln (5) \log_{5} (x^{2}) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.4

Expande $\log_{5} (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x^{4} \ln (5)}$

Paso 9.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.5.1

Factoriza $x$ de $x^{4} \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1)}{x (x^{3} \ln (5))}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \ln (5) (2 \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (5) \log_{5} (x) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (5) \log_{5} (x)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) + 1}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (5) \log_{5} (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.10

Reescribe $- (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ como $- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1)}{x^{3} \ln (5)}$

Paso 9.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 \ln (5) \log_{5} (x) - 1}{x^{3} \ln (5)}$