Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

Paso 1

Mueve el término $15$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(h - 8)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $64$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Resta $8$ de $0$ .

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $64$ de $64$ .

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$15 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Reescribe ${(h - 8)}^{2}$ como $(h - 8) (h - 8)$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Expande $(h - 8) (h - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.4.1.1

Multiplica $h$ por $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4.2

Resta $8 h$ de $- 8 h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 16 h]$ .

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Paso 2.3.7.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 16 h$ con respecto a $h$ es $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7.3

Multiplica $- 16$ por $1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8

Como $64$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $64$ con respecto a $h$ es $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.9

Como $- 64$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 64$ con respecto a $h$ es $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.10

Combina los términos.

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Paso 2.3.10.1

Suma $2 h - 16$ y $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.10.2

Suma $2 h - 16$ y $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

Paso 2.4

Divide $2 h - 16$ por $1$ .

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

Paso 3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

Paso 4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$15 (0 - 16)$

Paso 5.2

Resta $16$ de $0$ .

$15 \cdot - 16$

Paso 5.3

Multiplica $15$ por $- 16$ .

$- 240$