Cálculo Ejemplos

$\int {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{4} + 4$ . Entonces $d u = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{4} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{4} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 4]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $u^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 4$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$