Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x^{2}}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Paso 3.1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Paso 3.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Paso 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Paso 3.5

Combina factores.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

Paso 3.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

Paso 3.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 6.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$