Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{10} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{5}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 12 (3 x^{2})$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 36 x^{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{2} - 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{3} - 36 (2 x)$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 72 x$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{3} - 72 x$ .

$2 x^{3} - 72 x$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x^{3} - 72 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x^{3} - 72 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} - 72 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 72 x = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 72 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 36) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 36)$ .

$2 x (x^{2} - 36) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza.

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Paso 3.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$2 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Paso 3.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 3.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 6, 6$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 12 {(0)}^{3}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $- 6$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \frac{1}{10} \cdot {(- 6)}^{5} - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $5$ .

$f (- 6) = \frac{1}{10} \cdot - 7776 - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (- 6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot - 7776 - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 7776$ .

$f (- 6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (- 6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (- 6) = \frac{1}{5} \cdot - 3888 - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{- 3888}{5} - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 6) = - \frac{3888}{5} - 12 {(- 6)}^{3}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f (- 6) = - \frac{3888}{5} - 12 \cdot - 216$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $- 12$ por $- 216$ .

$f (- 6) = - \frac{3888}{5} + 2592$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $2592$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = - \frac{3888}{5} + 2592 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.3.2.3

Combina $2592$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = - \frac{3888}{5} + \frac{2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 6) = \frac{- 3888 + 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $2592$ por $5$ .

$f (- 6) = \frac{- 3888 + 12960}{5}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $- 3888$ y $12960$ .

$f (- 6) = \frac{9072}{5}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $\frac{9072}{5}$ .

$\frac{9072}{5}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 6$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ es $(- 6, \frac{9072}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 6, \frac{9072}{5})$

Paso 4.5

Sustituye $6$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot {(6)}^{5} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $5$ .

$f (6) = \frac{1}{10} \cdot 7776 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$f (6) = \frac{1}{2 (5)} \cdot 7776 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $7776$ .

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (6) = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3888) - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 3888 - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $3888$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 12 {(6)}^{3}$

Paso 4.5.2.1.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 12 \cdot 216$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $- 12$ por $216$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 2592$

Paso 4.5.2.2

Para escribir $- 2592$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} - 2592 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 4.5.2.3

Combina $- 2592$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = \frac{3888 - 2592 \cdot 5}{5}$

Paso 4.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.5.1

Multiplica $- 2592$ por $5$ .

$f (6) = \frac{3888 - 12960}{5}$

Paso 4.5.2.5.2

Resta $12960$ de $3888$ .

$f (6) = \frac{- 9072}{5}$

Paso 4.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (6) = - \frac{9072}{5}$

Paso 4.5.2.7

La respuesta final es $- \frac{9072}{5}$ .

$- \frac{9072}{5}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $6$ en $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 12 x^{3}$ es $(6, - \frac{9072}{5})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(6, - \frac{9072}{5})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 6, \frac{9072}{5}), (6, - \frac{9072}{5})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6.1$ en la expresión.

$f'' (- 6.1) = 2 {(- 6.1)}^{3} - 72 \cdot - 6.1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 6.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6.1) = 2 \cdot - 226.981 - 72 \cdot - 6.1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = - 453.962 - 72 \cdot - 6.1$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 72$ por $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = - 453.962 + 439.2$

Paso 6.2.2

Suma $- 453.962$ y $439.2$ .

$f'' (- 6.1) = - 14.762$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 14.762$ .

$- 14.762$

Paso 6.3

En $- 6.1$ , la segunda derivada es $- 14.762$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = 2 {(- 3)}^{3} - 72 \cdot - 3$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = 2 \cdot - 27 - 72 \cdot - 3$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 54 - 72 \cdot - 3$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 72$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 54 + 216$

Paso 7.2.2

Suma $- 54$ y $216$ .

$f'' (- 3) = 162$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $162$ .

$162$

Paso 7.3

En $- 3$ , la segunda derivada es $162$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 6, 0)$ .

Incremento en $(- 6, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{3} - 72 \cdot 3$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 27 - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $27$ .

$f'' (3) = 54 - 72 \cdot 3$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 54 - 216$

Paso 8.2.2

Resta $216$ de $54$ .

$f'' (3) = - 162$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 162$ .

$- 162$

Paso 8.3

En $3$ , la segunda derivada es $- 162$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 6)$ .

Decrecimiento en $(0, 6)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(6, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.1$ en la expresión.

$f'' (6.1) = 2 {(6.1)}^{3} - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $6.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (6.1) = 2 \cdot 226.981 - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $2$ por $226.981$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 72 \cdot 6.1$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 72$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = 453.962 - 439.2$

Paso 9.2.2

Resta $439.2$ de $453.962$ .

$f'' (6.1) = 14.762$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $14.762$ .

$14.762$

Paso 9.3

En $6.1$ , la segunda derivada es $14.762$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(6, \infty)$ .

Incremento en $(6, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 6, \frac{9072}{5}), (0, 0), (6, - \frac{9072}{5})$ .

$(- 6, \frac{9072}{5}), (0, 0), (6, - \frac{9072}{5})$

Paso 11