Cálculo Ejemplos

$x = 2 t - 5$ , $y = t^{2} + 4$

Paso 1

Establece la ecuación paramétrica de $x (t)$ para resolver la ecuación de $t$ .

$x = 2 t - 5$

Paso 2

Reescribe la ecuación como $2 t - 5 = x$ .

$2 t - 5 = x$

Paso 3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 t = x + 5$

Paso 4

Divide cada término en $2 t = x + 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 t = x + 5$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 5

Reemplaza $t$ en la ecuación con $y$ para obtener la ecuación en términos de $x$ .

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$

Paso 6

Simplifica ${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$ .

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe ${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2}$ como $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ .

$y = (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Paso 6.1.2

Expande $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Paso 6.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Paso 6.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1.1

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 6.1.3.1.1.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.2

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Paso 6.1.3.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 \cdot x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.4

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 6.1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Paso 6.1.3.1.5

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Paso 6.1.3.1.5.1

Multiplica $\frac{5}{2}$ por $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2} + 4$

Paso 6.1.3.1.5.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{2 \cdot 2} + 4$

Paso 6.1.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Paso 6.1.3.2

Suma $\frac{5 x}{4}$ y $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 (2)} + \frac{25}{4} + 4$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} + 4$

Paso 6.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4$

Paso 6.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.3

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 4 \cdot 4}{4}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 16}{4}$

Paso 6.5.2

Suma $25$ y $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{41}{4}$