Cálculo Ejemplos

$\int (\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 7.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 9.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} + C$