Cálculo Ejemplos

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{5} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.6

Combina $\frac{- 12}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- \frac{12}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 5$ y $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 5$ por $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.6

Combina $\frac{- 60}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.7

Cancela el factor común de $- 60$ y $5$ .

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Paso 2.2.7.1

Factoriza $5$ de $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.2.7.2.4

Divide $- 12 x^{4}$ por $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$