Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 1.3

Resta $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Paso 1.5.2

Resta $0.5$ de $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Paso 2

Multiplica $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3.2

Multiplica $u$ por $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3.3

Multiplica $u$ por $u^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Multiplica $u$ por $u^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Paso 3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Paso 3.5

Reescribe $- 1 u^{3}$ como $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Paso 8

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{1}{5} u^{5}$ en $0.5$ y en $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Paso 9.2

Evalúa $\frac{u^{4}}{4}$ en $0.5$ y en $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $0.5$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.6

Resta $1$ de $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.8

Eleva $0.5$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 9.3.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 9.3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Paso 9.3.11

Resta $1$ de $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Paso 9.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Paso 9.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Paso 9.3.14

Multiplica $\frac{0.9375}{4}$ por $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Paso 9.3.15

Para escribir $- \frac{0.96875}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Paso 9.3.16

Para escribir $\frac{0.9375}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $20$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.3.17.1

Multiplica $\frac{0.96875}{5}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.17.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 9.3.17.3

Multiplica $\frac{0.9375}{4}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Paso 9.3.17.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Paso 9.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Paso 9.3.19

Multiplica $- 0.96875$ por $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Paso 9.3.20

Multiplica $0.9375$ por $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Paso 9.3.21

Suma $- 3.875$ y $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Paso 10

Divide $0.8125$ por $20$ .

$0.040625$

Paso 11