Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$ .

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Paso 1.1

Factoriza $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}})}]$

Paso 3

Multiplica $x$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{2}{3}})}]$

Paso 3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Paso 3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Paso 3.4

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}]$

Paso 4

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ como ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.2.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

Paso 5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Paso 10.2

Resta $3$ de $- 5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Paso 12

Combina $x^{- \frac{8}{3}}$ y $\frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Paso 13

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Paso 14

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{6}$

Paso 14.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot x^{- \frac{8}{3}}}{6}$

Paso 14.3

Mueve $x^{- \frac{8}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 x^{\frac{8}{3}}}$