Cálculo Ejemplos

$e^{x y} = y - x$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (e^{x y}) = \frac{d}{d x} (y - x)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y' - 1 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' - 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = y' - 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reordena los factores en $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = y' - 1$

Paso 5.2

Resta $y'$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} - y' = - 1$

Paso 5.3

Resta $y e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{x y} - y' = - 1 - y e^{x y}$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $x y' e^{x y} - y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $x y' e^{x y}$ .

$y' (x e^{x y}) - y' = - 1 - y e^{x y}$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- y'$ .

$y' (x e^{x y}) + y' \cdot - 1 = - 1 - y e^{x y}$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (x e^{x y}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$ por $x e^{x y} - 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (x e^{x y} - 1) = - 1 - y e^{x y}$ por $x e^{x y} - 1$ .

$\frac{y' (x e^{x y} - 1)}{x e^{x y} - 1} = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x e^{x y} - 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x e^{x y} - 1)}{x e^{x y} - 1} = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{x e^{x y} - 1} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 1 - y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y e^{x y}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (y e^{x y})}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (y e^{x y})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + y e^{x y})}{x e^{x y} - 1}$

Paso 5.5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1 + y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y e^{x y}}{x e^{x y} - 1}$