Cálculo Ejemplos

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y' - 2 (2 y y')$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 4 y y' + y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Suma $3 y^{2} y'$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Paso 5.2.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1.1

Reordena los términos.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1$ más $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ por $(3 y - 1) (y - 1)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ por $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$