Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Paso 4

Sea $u = 2 + \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 2 + \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Paso 7

Reescribe $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$