Cálculo Ejemplos

$- y^{3} + 5 - y^{2} + y = 2 x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + 5 - y^{2} + y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- y^{3} + 5 - y^{2} + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + y'$

Paso 2.6

Suma $- 3 y^{2} y'$ y $0$ .

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Paso 5.1.2

Factoriza $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Paso 5.1.3

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Paso 5.1.4

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Paso 5.1.5

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Paso 5.1.6

Factoriza $y'$ de $y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2

Factoriza.

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Paso 5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $1$ más $- 3$

$y' (- 3 y^{2} + (1 - 3) y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y' (- 3 y^{2} + 1 y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' (- 3 y^{2} + y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y' ((- 3 y^{2} + y) - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y' (y (- 3 y + 1) + 1 (- 3 y + 1)) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 y + 1$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y + 1)) = 6 x^{2}$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3 y + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (3 y - 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 5.3.3.4.1

Reescribe $- (3 y - 1)$ como $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y + 1)}$

Paso 5.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$