Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.5

Reorganiza los términos.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.7

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$\int 16 \tan^{3} (t) \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $16$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.6

Multiplica $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.6.1

Mueve $\sec^{2} (t)$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $\sec^{2} (t)$ por $\sec (t)$ .

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Paso 2.2.6.2.1

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Paso 2.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 32 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Paso 2.2.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 3

Dado que $32$ es constante con respecto a $t$ , mueve $32$ fuera de la integral.

$32 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 4

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$32 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$32 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Paso 6

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$32 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Paso 7

Multiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$32 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$32 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.2

Multiplica $u^{2}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$32 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 8.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$32 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$32 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$32 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$32 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (t)$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{2} x))) + C$