Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.3

Reescribe $\cos^{6} (t)$ como ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Paso 3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 4

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Paso 5

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$