Cálculo Ejemplos

$\int 3 x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{u}{2}$ por $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.5

Suma $1$ y $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Paso 4.7

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Paso 4.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} \int u^{2} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Paso 11.2

Simplifica.

$3 (\frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{3}}{12}) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$3 (\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{16} + \frac{{(2 x - 1)}^{3}}{12}) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$3 (\frac{1}{16} {(2 x - 1)}^{4} + \frac{1}{12} {(2 x - 1)}^{3}) + C$