Cálculo Ejemplos

$x y^{2} + 4 + y = - x^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 + y) = \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + 4 + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x y y' + y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 0 + y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $2 x y y' + y^{2}$ y $0$ .

$2 x y y' + y^{2} + y'$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$y^{2} + 2 x y y' + y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2})$

Paso 3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{2} + 2 x y y' + y' = - 3 x^{2}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y y' + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

Paso 5.2

Factoriza $y'$ de $2 x y y' + y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 x y y'$ .

$y' (2 x y) + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

Paso 5.2.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (2 x y) + y' = - 3 x^{2} - y^{2}$

Paso 5.2.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (2 x y) + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} - y^{2}$

Paso 5.2.4

Factoriza $y'$ de $y' (2 x y) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$

Paso 5.3

Divide cada término en $y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$ por $2 x y + 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $y' (2 x y + 1) = - 3 x^{2} - y^{2}$ por $2 x y + 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 1)}{2 x y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x y + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 x y + 1)}{2 x y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 x y + 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (y^{2})}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + y^{2})}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.5.1

Reescribe $- (3 x^{2} + y^{2})$ como $- 1 (3 x^{2} + y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + y^{2})}{2 x y + 1}$

Paso 5.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y + 1}$