Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 2.8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 4.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $\sqrt{1}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Paso 6.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}$

Paso 6.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.5

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1 - 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.1.8

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Paso 8.2.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0}}$

Paso 8.2.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0^{2}}}$

Paso 8.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{1 - 0}$

Paso 8.2.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Paso 8.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 8.3

Divide $1$ por $1$ .

$1$