Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Paso 1

Escribe $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ como una función.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Paso 4

Sea $u = x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 4.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$